BLOG DE MATEMÁTICA

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REALIZA CIRCUNFERENCIA EN EL ORIGEN Y FUERA DEL ORIGEN EN EL PLANO CARTESIANO CON SUS FUNCIONES.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Ejemplo 1.

Representar gráficamente la circunferencia que tiene como ecuación:

X 2 +y2 - 4= 0

En primer lugar lo que se debe hacer es escribir la expresión en forma de la ecuación ordinaria, es decir de la forma: x2 +y2 =r2, de manera que podamos identificar el valor del radio, y como ya se mencionó anteriormente, este tipo de ecuación es la que tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas. Luego escribimos el 4 del otro lado de la ecuación quedando:

 X 2 +y2 =4….recordando que si estaba con signo negativo pasa con signo contrario.

Además para determinar el valor del radio, tenemos que al comparar con:

X 2 +y2 =r2 es claro que r2 = 4, por lo que r=2, es decir corresponde a la raíz cuadrada.

Por tanto el valor del radio r=2, y las coordenadas del centro son (0,0) resultando entonces la gráfica como sigue.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

  Si hacemos una comparación de las dos ecuaciones; la que tiene su centro en el origen:

X 2 +y2 =r2….ecuación 1

Y la de centro fuera del origen (x-h)2 + (y-k)2 =r2…. Ecuación 2

Se puede ver que las coordenadas (h, k) para el primer caso son (0,0) por lo tanto si sustituimos en la ecuación 2 estos valores queda:

(x-0)2 + (y-0)2 =r2 que simplificando queda

X 2 +y2 =r2

Resultando entonces la primera ecuación, es decir aquella que tiene su centro en el origen. Por lo tanto podemos decir que la ecuación de la circunferencia con centro en el origen es un caso particular donde las coordenadas del centro están localizadas en: (h=0, k=0)

Ejemplo 1.

Obtener la ecuación general y la gráfica de la circunferencia de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 3) y su radio es 2 unidades.

Para dar respuesta a lo que se solicita primero escribimos la fórmula que es:

(x-h)2 + (y-k)2 =r 2 y sustituimos los datos, con lo cual se obtiene:

(x-1) 2 + (y-3) 2 =2 2 Aclaramos antes de continuar que el centro se encuentra en el primer cuadrante, así como también que h=1; k=3, luego tenemos que desarrollar cada binomio obteniendo:

(X2 -2x+1)+ (y2 -6y+9)=4 considerando que cada binomio resulta de:

- Cuadrado del primer término, luego con el Signo del binomio

- El segundo término resulta de multiplicar los dos términos y duplicando la cantidad. 

- Finalmente el tercer término se obtiene elevando al cuadrado el segundo término del binomio.

Es decir de (x-1)2 resulta: X al cuadrado: x2, y el signo es menos –

El segundo término es: (x) por (1) y duplicamos quedando 2x;

Finalmente el segundo término del binomio al cuadrado es: 12 = 1, con lo que conjuntando todo tenemos: x2 -2x+1.

El mismo procedimiento aplicamos para el siguiente binomio (y-3)2 del que se obtiene y2 -6y+9 resultado de:

 “y” al cuadrado= y2 luego el signo también es negativo

Seguimos con (y) por (3)= 3y que duplicando queda: 6y

Finalmente el 3 al cuadrado es: 9, que como ya se ha mencionado es efectivamente lo que teníamos escrito.

Prosiguiendo con nuestro procedimiento una vez explicado el desarrollo de cada binomio tenemos que ordenar los términos en forma de lo que se conoce como ecuación general de segundo grado con dos variables, de la forma:

Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0 que significa que escribimos primero los términos de segundo grado, luego los de primero y finalmente reducimos los semejantes.

Procedemos de esta forma entonces con la ecuación

(X 2 -2x+1)+ (y2 -6y+9)=4, ordenamos:

 X 2 + y2 -2x-6y+1+9-4=0, ahora reducimos los términos independientes:

Ahora la gráfica de la circunferencia la obtenemos usando el programa Geogebra con los datos del centro y el radio que como ya sabemos son: c(h,k) = (1, 3) y su radio es 2 unidades, quedando: